次の2つの関数について、有限マクローリン展開を求める問題です。 (1) $f(x) = e^x$ (2) $f(x) = \cos(x)$ ($n = 2m$)

1. 問題の内容

次の2つの関数について、有限マクローリン展開を求める問題です。

(1) $f(x) = e^x$

(2) $f(x) = \cos(x)$ ($n = 2m$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^x$ のマクローリン展開

マクローリン展開は、関数を原点（$x = 0$）の周りでべき級数として表すものです。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots$

$f(x) = e^x$ の場合、$f'(x) = e^x$, $f''(x) = e^x$, ..., $f^{(n)}(x) = e^x$ です。

したがって、$f(0) = e^0 = 1$, $f'(0) = e^0 = 1$, $f''(0) = e^0 = 1$, ..., $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ となります。

よって、$e^x$ の有限マクローリン展開は次のようになります。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$

(2) $f(x) = \cos(x)$ ($n = 2m$) のマクローリン展開

同様に、$f(x) = \cos(x)$ のマクローリン展開を求めます。

$f'(x) = -\sin(x)$, $f''(x) = -\cos(x)$, $f'''(x) = \sin(x)$, $f^{(4)}(x) = \cos(x)$

これらの導関数は周期的に変化します。

$f(0) = \cos(0) = 1$, $f'(0) = -\sin(0) = 0$, $f''(0) = -\cos(0) = -1$, $f'''(0) = \sin(0) = 0$, $f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1$

一般に、$f^{(2k)}(0) = (-1)^k$ であり、$f^{(2k+1)}(0) = 0$ です。

したがって、$\cos(x)$ の有限マクローリン展開（次数 $n = 2m$ まで）は次のようになります。

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + R_{2m}(x)$

3. 最終的な答え

(1) $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$

(2) $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^m \frac{x^{2m}}{(2m)!} + R_{2m}(x)$

ここで、$R_n(x)$ と $R_{2m}(x)$ はそれぞれ剰余項を表します。