与えられた関数 $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ の冪の形で表現します。

$\sqrt{x} = x^{1/2}$ より、

$y = \frac{1}{x \cdot x^{1/2}}$

$y = \frac{1}{x^{1 + 1/2}}$

$y = \frac{1}{x^{3/2}}$

$y = x^{-3/2}$

次に、$y$ を $x$ について微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{-3/2})$

冪の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2} - 1}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

これを分数と根号で表すと、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{5/2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2 \cdot x^{1/2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2 \sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2 \sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$