$\lim_{x \to 0} \frac{5^x - 1}{x}$ を求める問題です。まず、$5^x$を$e^{kx}$の形に変形し、$k$の値を求めます。その後、極限を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{5^x - 1}{x}$ を求める問題です。まず、$5^x$を$e^{kx}$の形に変形し、$k$の値を求めます。その後、極限を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$5^x = e^{kx}$となる$k$を求めます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln(5^x) = \ln(e^{kx})$

$x \ln(5) = kx$

したがって、$k = \ln(5)$となります。

次に、$\lim_{x \to 0} \frac{5^x - 1}{x}$を計算します。

$5^x = e^{kx} = e^{\ln(5)x}$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{5^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\ln(5)x} - 1}{x}$

ここで、$t = \ln(5)x$とおくと、$x \to 0$のとき、$t \to 0$となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\ln(5)x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t/\ln(5)} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} \cdot \ln(5)$

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{5^x - 1}{x} = \ln(5)$

3. 最終的な答え

k = $\ln(5)$

答え: $\ln(5)$