## 問題4(1)
1. 問題の内容
定積分 の値を求める。
2. 解き方の手順
置換積分を用いる。 とおくと、 となる。
積分範囲も変わる。 のとき , のとき となる。
したがって、
\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx = \int_{1}^{-1} u^4 (-du) = - \int_{1}^{-1} u^4 \, du = \int_{-1}^{1} u^4 \, du
は偶関数であるから、
\int_{-1}^{1} u^4 \, du = 2 \int_{0}^{1} u^4 \, du = 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}
3. 最終的な答え
## 問題4(2)
1. 問題の内容
定積分 の値を求める。
2. 解き方の手順
部分積分を用いる。 とみて、, とすると、, となる。
\int_{1}^{e} \log x \, dx = \int_{1}^{e} 1 \cdot \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ x \log x \right]_1^e - \int_1^e 1 \, dx
= \left[ x \log x \right]_1^e - \left[ x \right]_1^e = (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1) = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1
3. 最終的な答え
## 問題5
1. 問題の内容
曲線 と直線 で囲まれた図形の面積 を求める。
2. 解き方の手順
まず、2つのグラフの交点を求める。
を解く。
交点の 座標は である。
において、 であるから、面積 は
S = \int_{-1}^{3} (x + 1 - (x^2 - x - 2)) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx
= \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^3 = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)
= (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - \frac{1}{3} + 2 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{33 - 1}{3} = \frac{32}{3}
3. 最終的な答え
## 問題6
1. 問題の内容
曲線 () と 軸で囲まれた図形を 軸のまわりに回転してできる立体の体積 を求める。
2. 解き方の手順
回転体の体積の公式より、
V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx
であるから、
V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\pi}
= \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right] = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}