定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx$ の値を求める。

解析学定積分置換積分部分積分面積体積回転体積分
2025/7/27
## 問題4(1)

1. 問題の内容

定積分 0πsinxcos4xdx\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx の値を求める。

2. 解き方の手順

置換積分を用いる。u=cosxu = \cos x とおくと、du=sinxdxdu = -\sin x \, dx となる。
積分範囲も変わる。x=0x=0 のとき u=cos0=1u = \cos 0 = 1, x=πx=\pi のとき u=cosπ=1u = \cos \pi = -1 となる。
したがって、
\int_{0}^{\pi} \sin x \cos^4 x \, dx = \int_{1}^{-1} u^4 (-du) = - \int_{1}^{-1} u^4 \, du = \int_{-1}^{1} u^4 \, du
u4u^4 は偶関数であるから、
\int_{-1}^{1} u^4 \, du = 2 \int_{0}^{1} u^4 \, du = 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

3. 最終的な答え

25\frac{2}{5}
## 問題4(2)

1. 問題の内容

定積分 1elogxdx\int_{1}^{e} \log x \, dx の値を求める。

2. 解き方の手順

部分積分を用いる。logx=1logx\log x = 1 \cdot \log x とみて、u=logxu = \log x, v=1v' = 1 とすると、u=1xu' = \frac{1}{x}, v=xv = x となる。
\int_{1}^{e} \log x \, dx = \int_{1}^{e} 1 \cdot \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ x \log x \right]_1^e - \int_1^e 1 \, dx
= \left[ x \log x \right]_1^e - \left[ x \right]_1^e = (e \log e - 1 \log 1) - (e - 1) = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1

3. 最終的な答え

11
## 問題5

1. 問題の内容

曲線 y=x2x2y = x^2 - x - 2 と直線 y=x+1y = x + 1 で囲まれた図形の面積 SS を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求める。
x2x2=x+1x^2 - x - 2 = x + 1 を解く。
x22x3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0
x=3,1x = 3, -1
交点の xx 座標は x=1,3x = -1, 3 である。
1x3-1 \le x \le 3 において、x+1x2x2x + 1 \ge x^2 - x - 2 であるから、面積 SS
S = \int_{-1}^{3} (x + 1 - (x^2 - x - 2)) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx
= \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^3 = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)
= (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - (\frac{1}{3} - 2) = 9 - \frac{1}{3} + 2 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{33 - 1}{3} = \frac{32}{3}

3. 最終的な答え

323\frac{32}{3}
## 問題6

1. 問題の内容

曲線 y=sinxy = \sin x (0xπ0 \le x \le \pi) と xx 軸で囲まれた図形を xx 軸のまわりに回転してできる立体の体積 VV を求める。

2. 解き方の手順

回転体の体積の公式より、
V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx
sin2x=1cos2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} であるから、
V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\pi}
= \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right] = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}

3. 最終的な答え

π22\frac{\pi^2}{2}

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