曲線 $C: \mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t)$ ($0 \le t \le 1$) に沿って、次の線積分の値を求める。 (a) $\int_C (x+3yz) \, ds$ (b) $\int_C (x+3yz) \, dz$

1. 問題の内容

曲線 $C: \mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t)$ ($0 \le t \le 1$) に沿って、次の線積分の値を求める。

(a) $\int_C (x+3yz) \, ds$

(b) $\int_C (x+3yz) \, dz$

2. 解き方の手順

(a) $\int_C (x+3yz) \, ds$

まず、$\mathbf{r}'(t)$ を計算する。

$\mathbf{r}'(t) = (3t^2, 2t, \frac{2}{3})$

次に、$|\mathbf{r}'(t)|$ を計算する。

$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(3t^2)^2 + (2t)^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}}$

$x = t^3$, $y = t^2$, $z = \frac{2}{3}t$ を代入して、$x+3yz$ を $t$ で表す。

$x+3yz = t^3 + 3(t^2)(\frac{2}{3}t) = t^3 + 2t^3 = 3t^3$

したがって、線積分は以下のようになる。

$\int_C (x+3yz) \, ds = \int_0^1 3t^3 \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} \, dt$

ここで、積分計算は困難なので、問題文を再確認する。

$\mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t)$ であるから、

$\mathbf{r}'(t) = (3t^2, 2t, \frac{2}{3})$

$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(3t^2)^2 + (2t)^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{81t^4 + 36t^2 + 4}{9}} = \frac{1}{3}\sqrt{(9t^2+2)^2} = \frac{1}{3} (9t^2 + 2)$

$\int_C (x+3yz) \, ds = \int_0^1 3t^3 \cdot \frac{1}{3} (9t^2+2) \, dt = \int_0^1 t^3(9t^2+2) \, dt = \int_0^1 (9t^5 + 2t^3) \, dt$

$= [\frac{9}{6}t^6 + \frac{2}{4}t^4]_0^1 = \frac{3}{2}t^6 + \frac{1}{2}t^4 |_0^1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

(b) $\int_C (x+3yz) \, dz$

$x = t^3$, $y = t^2$, $z = \frac{2}{3}t$ より、$dz = \frac{2}{3} dt$

$x+3yz = t^3 + 3(t^2)(\frac{2}{3}t) = t^3 + 2t^3 = 3t^3$

したがって、線積分は以下のようになる。

$\int_C (x+3yz) \, dz = \int_0^1 3t^3 \cdot \frac{2}{3} \, dt = \int_0^1 2t^3 \, dt = [\frac{2}{4}t^4]_0^1 = \frac{1}{2}t^4 |_0^1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) $\int_C (x+3yz) \, ds = 2$

(b) $\int_C (x+3yz) \, dz = \frac{1}{2}$