(1) 次の関数の増減表を作成する。 ① $y = x^3 - 3x$ ② $y = -x^3 + 3x$ ③ $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ (2) (1)の増減表をもとに、それぞれの関数のグラフを描く。

1. 問題の内容

(1) 次の関数の増減表を作成する。

① $y = x^3 - 3x$

② $y = -x^3 + 3x$

③ $y = x^3 - 6x^2 + 9x$

(2) (1)の増減表をもとに、それぞれの関数のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 各関数について、導関数を求め、導関数が0になる点を求める。次に、その点を境に増減表を作成する。

① $y = x^3 - 3x$ の場合

$y' = 3x^2 - 3$

$y' = 0$ となるのは、$3x^2 - 3 = 0$、すなわち $x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ |

$x=-1$ のとき $y=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$

$x=1$ のとき $y=(1)^3-3(1)=1-3=-2$

② $y = -x^3 + 3x$ の場合

$y' = -3x^2 + 3$

$y' = 0$ となるのは、$-3x^2 + 3 = 0$、すなわち $x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↘ | -2 | ↗ | 2 | ↘ |

$x=-1$ のとき $y=-(-1)^3+3(-1)=1-3=-2$

$x=1$ のとき $y=-(1)^3+3(1)=-1+3=2$

③ $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ の場合

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

$y' = 0$ となるのは、$3x^2 - 12x + 9 = 0$、すなわち $x^2 - 4x + 3 = 0$ より、$(x-1)(x-3) = 0$なので、$x = 1, 3$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ |

$x=1$ のとき $y=(1)^3-6(1)^2+9(1)=1-6+9=4$

$x=3$ のとき $y=(3)^3-6(3)^2+9(3)=27-54+27=0$

(2) 各関数の増減表を参考に、グラフを描く。

3. 最終的な答え

(1)

① の増減表：

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ |

② の増減表：

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↘ | -2 | ↗ | 2 | ↘ |

③ の増減表：

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ |

(2) グラフについては図示が必要です。増減表を参考にグラフを作成してください。