問題は主に2つのパートに分かれています。 一つ目は、与えられた関数の$n$次導関数を求める問題です。 (7) $xe^{2x}$, (8) $\frac{4}{x^2 - 4}$, (9) $x^2 \sin x$ 二つ目は、与えられた関数の極限を求める問題です。 (10) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$, (11) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$, (12) $\lim_{x \to +0} x^x$

1. 問題の内容

問題は主に2つのパートに分かれています。

一つ目は、与えられた関数の$n$次導関数を求める問題です。

(7) $xe^{2x}$, (8) $\frac{4}{x^2 - 4}$, (9) $x^2 \sin x$

二つ目は、与えられた関数の極限を求める問題です。

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$, (11) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$, (12) $\lim_{x \to +0} x^x$

2. 解き方の手順

(7) $xe^{2x}$ の $n$ 次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = x$, $v = e^{2x}$ とすると、

$u^{(0)} = x, u^{(1)} = 1, u^{(k)} = 0 (k \ge 2)$

$v^{(k)} = 2^k e^{2x}$

したがって、

$(xe^{2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(k)} v^{(n-k)} = {}_n C_0 x (2^n e^{2x}) + {}_n C_1 1 (2^{n-1} e^{2x}) = x 2^n e^{2x} + n 2^{n-1} e^{2x} = (2^n x + n 2^{n-1})e^{2x} = 2^{n-1}(2x + n) e^{2x}$

(8) $\frac{4}{x^2 - 4}$ の $n$ 次導関数を求める。

$\frac{4}{x^2 - 4} = \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$

$(\frac{1}{x - 2})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x - 2)^{n+1}}$

$(\frac{1}{x + 2})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x + 2)^{n+1}}$

したがって、$(\frac{4}{x^2 - 4})^{(n)} = (-1)^n n! (\frac{1}{(x - 2)^{n+1}} - \frac{1}{(x + 2)^{n+1}})$

(9) $x^2 \sin x$ の $n$ 次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = x^2$, $v = \sin x$ とすると、

$u^{(0)} = x^2, u^{(1)} = 2x, u^{(2)} = 2, u^{(k)} = 0 (k \ge 3)$

$v^{(k)} = \sin(x + \frac{k\pi}{2})$

したがって、

$(x^2 \sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(k)} v^{(n-k)} = {}_n C_0 x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + {}_n C_1 2x \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + {}_n C_2 2 \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2}) = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$ を求める。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin^4 x = (x - \frac{x^3}{3!} + \dots)^4 = x^4 + O(x^6)$

$1 - \frac{x^2}{2} - \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots) = - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x} = \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^4}{24}}{x^4} = - \frac{1}{24}$

(11) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$ を求める。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - x}{x \sin x} = \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \dots - x}{x (x - \frac{x^3}{3!} + \dots)} = \frac{- \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2 + O(x^4)} = \frac{- \frac{x}{6} + O(x^3)}{1 + O(x^2)}$

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}) = \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{6}}{1} = 0$

(12) $\lim_{x \to +0} x^x$ を求める。

$y = x^x$

$\ln y = x \ln x$

$\lim_{x \to +0} x \ln x = \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} -x = 0$

$\lim_{x \to +0} \ln y = 0$

$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

$\lim_{x \to +0} x^x = 1$

3. 最終的な答え

(7) $2^{n-1}(2x + n) e^{2x}$

(8) $(-1)^n n! (\frac{1}{(x - 2)^{n+1}} - \frac{1}{(x + 2)^{n+1}})$

(9) $x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(10) $- \frac{1}{24}$

(11) $0$

(12) $1$