曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, -1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接点の座標を仮定する

接点の座標を $(t, t^3 - t)$ とおきます。

ステップ2: 微分を計算する

$y = x^3 - x$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$

となります。

ステップ3: 接線の傾きを計算する

接点 $(t, t^3 - t)$ における接線の傾きは、

$3t^2 - 1$

です。

ステップ4: 接線の方程式を立てる

接点 $(t, t^3 - t)$ を通り、傾きが $3t^2 - 1$ の接線の方程式は、

$y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(x - t)$

と表されます。

ステップ5: 点 $(1, -1)$ を通る条件を適用する

接線が点 $(1, -1)$ を通るので、接線の方程式に $x = 1$, $y = -1$ を代入します。

$-1 - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(1 - t)$

$-1 - t^3 + t = 3t^2 - 1 - 3t^3 + t$

$2t^3 - 3t^2 = 0$

$t^2(2t - 3) = 0$

よって、$t = 0$ または $t = \frac{3}{2}$ です。

ステップ6: 接線の方程式と接点を求める

(i) $t = 0$ のとき

接点は $(0, 0)$ で、傾きは $3(0)^2 - 1 = -1$ です。

接線の方程式は $y - 0 = -1(x - 0)$ より、$y = -x$ です。

(ii) $t = \frac{3}{2}$ のとき

接点は $(\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^3 - \frac{3}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{27}{8} - \frac{12}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ です。

傾きは $3(\frac{3}{2})^2 - 1 = 3(\frac{9}{4}) - 1 = \frac{27}{4} - \frac{4}{4} = \frac{23}{4}$ です。

接線の方程式は $y - \frac{15}{8} = \frac{23}{4}(x - \frac{3}{2})$ より、$y = \frac{23}{4}x - \frac{69}{8} + \frac{15}{8} = \frac{23}{4}x - \frac{54}{8} = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = -x$ のとき、接点は $(0, 0)$ です。

接線の方程式が $y = \frac{23}{4}x - \frac{27}{4}$ のとき、接点は $(\frac{3}{2}, \frac{15}{8})$ です。