(1) 関数 $f(x) = \int_{-1}^{x} (t^2 - 3t + 1) dt$ を微分せよ。 (2) 等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 + 12x + 18$ を満たす関数 $f(x)$ および定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \int_{-1}^{x} (t^2 - 3t + 1) dt$ を微分せよ。

(2) 等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 + 12x + 18$ を満たす関数 $f(x)$ および定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

積分記号の中に変数 $x$ が含まれているので、微分積分学の基本定理を用いる。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} g(t) dt = g(x)$

したがって、

$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{-1}^{x} (t^2 - 3t + 1) dt = x^2 - 3x + 1$

(2)

与えられた等式 $\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 + 12x + 18$ の両辺を $x$ で微分すると、

$f(x) = \frac{d}{dx} (2x^2 + 12x + 18) = 4x + 12$

次に、$\int_{a}^{x} f(t) dt = 2x^2 + 12x + 18$ に $x = a$ を代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0 = 2a^2 + 12a + 18$

$2a^2 + 12a + 18 = 0$

$a^2 + 6a + 9 = 0$

$(a + 3)^2 = 0$

$a = -3$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = x^2 - 3x + 1$

(2) $f(x) = 4x + 12$, $a = -3$