与えられた4つの関数について、n=4までのマクローリン展開を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、n=4までのマクローリン展開を求めます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ に対して以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + ...$

(1) $f(x) = \sin x$ の場合:

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = \cos(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = -\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -\cos(0) = -1$

$f''''(x) = \sin x$, $f''''(0) = \sin(0) = 0$

したがって、

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!}=x - \frac{x^3}{6}$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x}$ の場合:

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$, $f'''(0) = \frac{3}{8}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}$, $f''''(0) = -\frac{15}{16}$

したがって、

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4\cdot 2}x^2 + \frac{3}{8\cdot 6}x^3 - \frac{15}{16\cdot 24}x^4 = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128}$

(3) $f(x) = x \sin x$ の場合:

(1)の結果を利用して、

$x \sin x \approx x(x - \frac{x^3}{6}) = x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$ の場合:

$f(0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = \frac{-2}{(1+x)^3}$, $f''(0) = -2$

$f'''(x) = \frac{6}{(1+x)^4}$, $f'''(0) = 6$

$f''''(x) = \frac{-24}{(1+x)^5}$, $f''''(0) = -24$

したがって、

$\frac{x}{1+x} \approx x - \frac{2}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 - \frac{24}{24}x^4 = x - x^2 + x^3 - x^4$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

(2) $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128}$

(3) $x \sin x \approx x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $\frac{x}{1+x} \approx x - x^2 + x^3 - x^4$