以下の4つの不定積分を計算する問題です。 問1: $\int x^{-3} dx$ 問2: $\int \sqrt[4]{x^3} dx$ 問3: $\int (\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$ 問4: $\int (10^x - 3) dx$

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を計算する問題です。

問1: $\int x^{-3} dx$

問2: $\int \sqrt[4]{x^3} dx$

問3: $\int (\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$

問4: $\int (10^x - 3) dx$

2. 解き方の手順

各不定積分を計算します。積分定数は $C$ とします。

問1: $\int x^{-3} dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$) を用います。

$n = -3$ なので、

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

問2: $\int \sqrt[4]{x^3} dx$

まず、根号を指数に書き換えます。 $\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$

よって、$\int \sqrt[4]{x^3} dx = \int x^{\frac{3}{4}} dx$

べき関数の積分公式を用いると、

$\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + C = \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

問3: $\int (\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$

積分を分け、定数倍を積分の外に出します。

$\int (\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = 2\int \frac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

よって、

$\int (\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = 2\ln |x| - \frac{1}{x} + C$

問4: $\int (10^x - 3) dx$

積分を分けます。 $\int (10^x - 3) dx = \int 10^x dx - \int 3 dx$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を用いると、$\int 10^x dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C$

$\int 3 dx = 3x + C$

よって、$\int (10^x - 3) dx = \frac{10^x}{\ln 10} - 3x + C$

3. 最終的な答え

問1: $-\frac{1}{2x^2} + C$

問2: $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

問3: $2\ln |x| - \frac{1}{x} + C$

問4: $\frac{10^x}{\ln 10} - 3x + C$