次の極限をマクローリン展開を用いて示す問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} = 2025 $$

1. 問題の内容

次の極限をマクローリン展開を用いて示す問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} = 2025

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2. 解き方の手順

$\sin x$と$\cos x$のマクローリン展開を利用します。

$\sin x$のマクローリン展開は次の通りです。

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\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots

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$\cos x$のマクローリン展開は次の通りです。

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\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots

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これらの展開を元の式に代入し、$x^2$の項までを考慮して計算します。

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\begin{aligned}

(1 + 2025x) \sin x - x \cos x &= (1 + 2025x) \left(x - \frac{x^3}{6} + \dots\right) - x \left(1 - \frac{x^2}{2} + \dots\right) \\

&= x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} + \dots - x + \frac{x^3}{2} + \dots \\

&= 2025x^2 + \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right) x^3 + \dots \\

&= 2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots

\end{aligned}

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したがって、

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\begin{aligned}

\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots}{x^2} \\

&= \lim_{x \to 0} \left(2025 + \frac{1}{3}x + \dots\right) \\

&= 2025

\end{aligned}

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3. 最終的な答え

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\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} = 2025

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