与えられた2階非同次微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = 8t$ について、以下の問いに答える。 (1) 右辺を0にした同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} - 2y = 0$ の一般解 $y(t)$ を求める。 (2) $x_0(t) = At + B$ (A, Bは定数) が非同次微分方程式の解であるとき、定数A, Bの値を求める。 (3) 関数 $x(t) = y(t) + x_0(t)$ が与えられた非同次微分方程式の一般解であることを示す。

1. 問題の内容

与えられた2階非同次微分方程式

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = 8t$

について、以下の問いに答える。

(1) 右辺を0にした同次微分方程式

$\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} - 2y = 0$

の一般解 $y(t)$ を求める。

(2) $x_0(t) = At + B$ (A, Bは定数) が非同次微分方程式の解であるとき、定数A, Bの値を求める。

(3) 関数 $x(t) = y(t) + x_0(t)$ が与えられた非同次微分方程式の一般解であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 同次微分方程式の一般解 $y(t)$ を求める。

特性方程式は

$r^2 + r - 2 = 0$

$(r+2)(r-1) = 0$

$r_1 = 1, r_2 = -2$

したがって、一般解は

$y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-2t}$ ( $C_1, C_2$ は任意定数)

(2) $x_0(t) = At + B$ を非同次微分方程式に代入する。

$\frac{d}{dt}x_0(t) = A$

$\frac{d^2}{dt^2}x_0(t) = 0$

$0 + A - 2(At+B) = 8t$

$A - 2At - 2B = 8t$

$(-2A)t + (A-2B) = 8t$

係数を比較して、

$-2A = 8$

$A - 2B = 0$

よって、

$A = -4$

$-4 - 2B = 0$

$-2B = 4$

$B = -2$

(3) $x(t) = y(t) + x_0(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-2t} - 4t - 2$ が非同次微分方程式の一般解であることを示す。

$x(t) = y(t) + x_0(t)$

$\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} + \frac{dx_0}{dt}$

$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{d^2x_0}{dt^2}$

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = (\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} - 2y) + (\frac{d^2x_0}{dt^2} + \frac{dx_0}{dt} - 2x_0)$

$y(t)$ は同次微分方程式の解なので、

$\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} - 2y = 0$

$x_0(t)$ は非同次微分方程式の特殊解なので、

$\frac{d^2x_0}{dt^2} + \frac{dx_0}{dt} - 2x_0 = 8t$

よって、

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = 0 + 8t = 8t$

したがって、$x(t) = y(t) + x_0(t)$ は非同次微分方程式の一般解である。

3. 最終的な答え

(1) $y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-2t}$

(2) $A = -4$, $B = -2$

(3) $x(t) = y(t) + x_0(t)$ は与えられた非同次微分方程式の一般解である。