関数 $y = x^{x^x}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{x^x}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln{y} = \ln(x^{x^x}) = x^x \ln{x}$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x \ln{x}) = \frac{d}{dx}(x^x) \ln{x} + x^x \frac{d}{dx}(\ln{x})$

ここで、$u = x^x$ とおくと、$\ln{u} = x \ln{x}$ となります。両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \ln{x} + x \cdot \frac{1}{x} = \ln{x} + 1$

したがって、

$\frac{du}{dx} = u(\ln{x} + 1) = x^x (\ln{x} + 1)$

これを代入すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^x(\ln{x} + 1)\ln{x} + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(\ln{x} + 1)\ln{x} + x^{x-1}$

$\frac{dy}{dx} = y[x^x(\ln{x} + 1)\ln{x} + x^{x-1}] = x^{x^x} [x^x (\ln^2{x} + \ln{x}) + x^{x-1}]$

$\frac{dy}{dx} = x^{x^x} x^{x-1} [x (\ln^2{x} + \ln{x}) + 1]$

$\frac{dy}{dx} = x^{x^x+x-1} (\ln^2 x + \ln x + \frac{1}{x})$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{x^x} [x^x (\ln^2{x} + \ln{x}) + x^{x-1}]$

または

$\frac{dy}{dx} = x^{x^x+x-1} (\ln^2 x + \ln x + x^{-1})$