与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\frac{1 - \cos x}{\sin x})$ を微分して、$y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\frac{1 - \cos x}{\sin x})$ を微分して、$y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を簡単にする。

$\cos x = 1 - 2\sin^2(\frac{x}{2})$ および $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ を用いると、

$$

\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2(\frac{x}{2}))}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})} = \frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})} = \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} = \tan(\frac{x}{2})

$$

したがって、$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{x}{2})) = \frac{x}{2}$ となる。

$y = \frac{x}{2}$ を $x$ で微分すると、

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}

$$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{2}$