与えられた広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた広義積分

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} dx$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x} = t$ と置換する。すると、$x = t^2$ より $dx = 2t dt$となる。

また、積分区間は $x: 1 \rightarrow \infty$に対して $t: 1 \rightarrow \infty$となる。

したがって、

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t(t+2)} 2t dt = 2 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t+2} dt$

となる。

ここで、

$\int \frac{1}{t+2} dt = \log|t+2| + C$

であるから、

$2 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t+2} dt = 2 [\log|t+2|]_{1}^{\infty} = 2 [\log(t+2)]_{1}^{\infty} = 2 \lim_{t \to \infty} [\log(t+2) - \log(1+2)] = 2 \lim_{t \to \infty} [\log(t+2) - \log 3]$

ここで、$t \to \infty$ のとき $\log(t+2) \to \infty$ なので、この広義積分は発散する。

3. 最終的な答え

与えられた広義積分は発散する。