関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで $u = \sin x$、 $v = \cos 2x$ とします。

まず、$u$ と $v$ の導関数を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$v' = \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x$

積の微分公式に当てはめると、

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)' \cos 2x + \sin x (\cos 2x)'$

$\frac{dy}{dx} = (\cos x) \cos 2x + (\sin x) (-2\sin 2x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$

倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 2\sin x (2\sin x \cos x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \cos x (\cos 2x - 4\sin^2 x)$

さらに、倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \cos x (1 - 2\sin^2 x - 4\sin^2 x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x (1 - 6\sin^2 x)$

$\frac{dy}{dx} = \cos x - 6\sin^2 x \cos x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos x - 6\sin^2 x \cos x = \cos x (1 - 6\sin^2 x)$