与えられた3つの広義積分が収束するかどうかを判定する。 (1) $\int_0^{\pi/2} \frac{\log(\sin x)}{\sqrt{\pi/2 - x}} dx$ (2) $\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\sqrt{\tan x}}$ (3) $\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[4]{1 + x^2 + 2x^5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの広義積分が収束するかどうかを判定する。

(1) $\int_0^{\pi/2} \frac{\log(\sin x)}{\sqrt{\pi/2 - x}} dx$

(2) $\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\sqrt{\tan x}}$

(3) $\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[4]{1 + x^2 + 2x^5}}$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to \pi/2$ のとき、$\pi/2 - x = t$ と置換すると、

$\int_0^{\pi/2} \frac{\log(\sin x)}{\sqrt{\pi/2 - x}} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\log(\cos t)}{\sqrt{t}} dt$

$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4)$ なので、

$\log(\cos t) = \log(1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4)) \approx -\frac{t^2}{2}$

したがって、

$\int_0^{\pi/2} \frac{\log(\cos t)}{\sqrt{t}} dt \approx \int_0^{\pi/2} \frac{-t^2/2}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} t^{3/2} dt$

これは収束する。

$x \to 0$ のとき、$\log(\sin x) \approx \log x$ なので、

$\int_0^{\pi/2} \frac{\log(\sin x)}{\sqrt{\pi/2 - x}} dx \approx \frac{1}{\sqrt{\pi/2}} \int_0^{\pi/2} \log x dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}} [x \log x - x]_0^{\pi/2} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} (\frac{\pi}{2} \log(\pi/2) - \frac{\pi}{2})$

これは収束する。

よって、積分は収束する。

(2)

$x \to 0$ のとき、$\tan x \approx x$ なので、

$\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\sqrt{\tan x}} \approx \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\sqrt{x}} = [2\sqrt{x}]_0^{\pi/4} = 2 \sqrt{\pi/4} = \sqrt{\pi}$

したがって、積分は収束する。

(3)

$x \to \infty$ のとき、

$\int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[4]{1 + x^2 + 2x^5}} \approx \int_0^{\infty} \frac{dx}{\sqrt[4]{2x^5}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^{5/4}}$

これは発散する。なぜなら、$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p}$ は $p > 1$ で収束、$p \le 1$ で発散するから。

$\frac{5}{4} > 1$ である必要があるが、$\frac{5}{4} > 1$ は成り立っていない。

したがって、$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^{5/4}}$ は発散する。

よって、積分は発散する。

3. 最終的な答え

(1) 収束する

(2) 収束する

(3) 発散する