関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用います。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

この問題では、$u = x-1$、$v = x^3+1$ となります。

まず、$u$ と $v$ をそれぞれ微分します。

$u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2$

次に、商の微分公式に当てはめます。

$y' = \frac{1 \cdot (x^3+1) - (x-1) \cdot 3x^2}{(x^3+1)^2}$

分子を整理します。

$y' = \frac{x^3+1 - (3x^3 - 3x^2)}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{x^3+1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3+1)^2}$

$y' = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$

ここで、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$であることを利用して、分子に$(x+1)$が含まれていないか確認してみます。分母には$(x+1)$が含まれています。しかし、残念ながら分子には$(x+1)$という因子は含まれていないため、これ以上簡単化できません。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3+1)^2}$