極限 $\lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた極限を求めるために、以下の手順で進めます。

1. $y = (1-3x)^{\frac{1}{x}}$ とおく。

2. 両辺の自然対数をとる： $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1-3x)$

3. $\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-3x)}{x}$ を計算する。これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。

4. ロピタルの定理より、$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3}{1-3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{1-3x} = -3$

5. $\lim_{x \to 0} \ln y = -3$ であるから、$\lim_{x \to 0} y = e^{-3}$

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1-3x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-3x)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3}{1-3x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{1-3x} = -3$

$\lim_{x \to 0} y = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$