関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を整理します。

$$f(x) = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{x} = 1 - \frac{2\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} = 1 - 2x^{-1/2} + x^{-1}$$

次に、各項を微分します。

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

$$\frac{d}{dx}(-2x^{-1/2}) = -2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = x^{-3/2}$$

$$\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2}$$

したがって、

$$f'(x) = 0 + x^{-3/2} - x^{-2} = \frac{1}{x^{3/2}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} = \frac{x - \sqrt{x}}{x^3} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{x^3} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x^{5/2}}$$

$x^{5/2}=x^2\sqrt{x}$であるため、以下のように変形することも可能です。

$$f'(x)=\frac{x-\sqrt{x}}{x^3}$$

$$f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x^{5/2}}=\frac{x-\sqrt{x}}{x^3}$$

$$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$ または $f'(x) = \frac{x-\sqrt{x}}{x^3}$ または $f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x^{5/2}}$