問題文は、実数の部分集合$S$に対して、その上界全体の集合を$U(S)$、下界全体の集合を$L(S)$と定義したとき、以下の2つの命題を証明することを求めています。 (1) $S$は上に有界である $\Leftrightarrow$ $U(S) \neq \emptyset$ (2) $S$は下に有界である $\Leftrightarrow$ $L(S) \neq \emptyset$

1. 問題の内容

問題文は、実数の部分集合$S$に対して、その上界全体の集合を$U(S)$、下界全体の集合を$L(S)$と定義したとき、以下の2つの命題を証明することを求めています。

(1) $S$は上に有界である $\Leftrightarrow$ $U(S) \neq \emptyset$

(2) $S$は下に有界である $\Leftrightarrow$ $L(S) \neq \emptyset$

2. 解き方の手順

(1) $S$は上に有界である $\Leftrightarrow$ $U(S) \neq \emptyset$ の証明

* ($\Rightarrow$) $S$が上に有界であると仮定すると、ある実数$a$が存在して、$S$の任意の要素$x$に対して、$x \leq a$ が成り立ちます。このとき、$a$は$S$の上界であるので、$a \in U(S)$となります。したがって、$U(S)$は空集合ではありません。つまり、$U(S) \neq \emptyset$です。

* ($\Leftarrow$) $U(S) \neq \emptyset$と仮定すると、$U(S)$は少なくとも1つの要素$a$を含みます。つまり、$a \in U(S)$です。$U(S)$の定義より、$a \in U(S)$であることは、$S$の任意の要素$x$に対して、$x \leq a$ が成り立つことを意味します。したがって、$a$は$S$の上界であるので、$S$は上に有界です。

(2) $S$は下に有界である $\Leftrightarrow$ $L(S) \neq \emptyset$ の証明

* ($\Rightarrow$) $S$が下に有界であると仮定すると、ある実数$a$が存在して、$S$の任意の要素$x$に対して、$x \geq a$ が成り立ちます。このとき、$a$は$S$の下界であるので、$a \in L(S)$となります。したがって、$L(S)$は空集合ではありません。つまり、$L(S) \neq \emptyset$です。

* ($\Leftarrow$) $L(S) \neq \emptyset$と仮定すると、$L(S)$は少なくとも1つの要素$a$を含みます。つまり、$a \in L(S)$です。$L(S)$の定義より、$a \in L(S)$であることは、$S$の任意の要素$x$に対して、$x \geq a$ が成り立つことを意味します。したがって、$a$は$S$の下界であるので、$S$は下に有界です。

3. 最終的な答え

(1) $S$は上に有界である $\Leftrightarrow$ $U(S) \neq \emptyset$ は証明されました。

(2) $S$は下に有界である $\Leftrightarrow$ $L(S) \neq \emptyset$ は証明されました。