次の3つの関数を微分する問題です。 (1) $f(x) = (10x - 5)^6$ (3) $f(x) = e^{x^2+1}$ (5) $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \quad (x > 0)$

1. 問題の内容

次の3つの関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = (10x - 5)^6$

(3) $f(x) = e^{x^2+1}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \quad (x > 0)$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を利用します。

$u = 10x - 5$ とおくと、$f(u) = u^6$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = 6u^5 = 6(10x - 5)^5$

$\frac{du}{dx} = 10$

よって、

$\frac{df}{dx} = 6(10x - 5)^5 \cdot 10 = 60(10x - 5)^5$

(3) 合成関数の微分を利用します。

$u = x^2 + 1$ とおくと、$f(u) = e^u$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = e^u = e^{x^2+1}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{df}{dx} = e^{x^2+1} \cdot 2x = 2x e^{x^2+1}$

(5) 指数関数の微分を利用します。

$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 60(10x - 5)^5$

(3) $f'(x) = 2x e^{x^2+1}$

(5) $f'(x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$