定積分 $\int_{-2}^{2} \sqrt{5-2x} \, dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} \sqrt{5-2x} \, dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を求めます。$u = 5-2x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = -2$ より $dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

よって、不定積分は

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\int \sqrt{5-2x} \, dx = \int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{3} (5-2x)^{3/2} + C

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したがって、定積分は

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\int_{-2}^{2} \sqrt{5-2x} \, dx = \left[-\frac{1}{3} (5-2x)^{3/2}\right]_{-2}^{2} = -\frac{1}{3} (5-2(2))^{3/2} - \left(-\frac{1}{3} (5-2(-2))^{3/2}\right)

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= -\frac{1}{3} (5-4)^{3/2} + \frac{1}{3} (5+4)^{3/2} = -\frac{1}{3} (1)^{3/2} + \frac{1}{3} (9)^{3/2} = -\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (3^2)^{3/2} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 3^3

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= -\frac{1}{3} + \frac{27}{3} = \frac{26}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{26}{3}$