問題は以下の2つです。 (10) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^4 x}$ の極限を求める。 (13) $x \sin 3x$ の3次近似式を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^4 x}$ の極限を求める。

(13) $x \sin 3x$ の3次近似式を求める。

2. 解き方の手順

(10) の極限を求める。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^4 x}$を計算する。

$\sin x \approx x$ （$x \to 0$ のとき）を利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin^4 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{x^3}$ は発散する。したがって、極限は存在しない（無限大に発散する）。

(13) $x \sin 3x$ の3次近似式を求める。

$\sin x$ のテイラー展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、

$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \frac{243x^5}{120} - \dots$

$x \sin 3x = x \left( 3x - \frac{27x^3}{6} + \dots \right) = 3x^2 - \frac{9}{2}x^4 + \dots$

3次近似式を求めるので、3次以下の項までを考慮する。

$x \sin 3x = 3x^2 + O(x^4)$

したがって、3次近似式は $3x^2$ となる。

3. 最終的な答え

(10) 極限は存在しない（発散する）。

(13) $3x^2$