この問題は、2024年数学Iの期末試験の問題です。内容は、(1)関数の微分、(2)積分の計算、(3)関数の微分と極値の計算、(4)二つの曲線で囲まれる面積の計算、(5)逆三角関数の接線の計算、です。

1. 問題の内容

この問題は、2024年数学Iの期末試験の問題です。内容は、(1)関数の微分、(2)積分の計算、(3)関数の微分と極値の計算、(4)二つの曲線で囲まれる面積の計算、(5)逆三角関数の接線の計算、です。

2. 解き方の手順

(1) (a) $y = \sqrt{x} - \sqrt[3]{x}$ の微分

$y = x^{1/2} - x^{1/3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(b) $y = \frac{e^x}{x+1}$ の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(x+1) - e^x}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(c) $y = 2 \arctan{\sqrt{x}}$ の微分

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}$

(2) (a) $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x^2}} dx$ の計算

$\int \frac{x}{x^{2/3}} dx = \int x^{1/3} dx = \frac{3}{4}x^{4/3} + C$

(b) $\int \frac{4x^3}{1+x^4} dx$ の計算

$u = 1 + x^4$ とおくと $du = 4x^3 dx$ なので、

$\int \frac{4x^3}{1+x^4} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|1+x^4| + C = \ln(1+x^4) + C$

(c) $\int_0^1 e^{4x+1} dx$ の計算

$\int_0^1 e^{4x+1} dx = \left[ \frac{1}{4}e^{4x+1} \right]_0^1 = \frac{1}{4}e^5 - \frac{1}{4}e = \frac{e}{4}(e^4 - 1)$

(3) (a) $f(x) = x^2 - 4\sqrt{x}$ の $f'(x)$ と $f''(x)$

$f'(x) = 2x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

$f''(x) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = 2 + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(b) $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$ となるxを求める。

$2x = \frac{2}{\sqrt{x}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$x^{3/2} = 1$

$x = 1$

$f(1) = 1^2 - 4\sqrt{1} = 1 - 4 = -3$

$x=1$の前後の$f'(x)$の符号を調べる。

$x=0.5$のとき、$f'(0.5) = 2(0.5) - \frac{2}{\sqrt{0.5}} = 1 - 2\sqrt{2} < 0$

$x=2$のとき、$f'(2) = 2(2) - \frac{2}{\sqrt{2}} = 4 - \sqrt{2} > 0$

したがって、$x=1$で極小値をとり、極小値は$-3$。

(4) 二つの曲線 $f(x) = x^4$ , $g(x) = \sqrt[4]{x}$ で囲まれる領域の面積

まず、交点を求める。

$x^4 = \sqrt[4]{x}$

$x^{16} = x$

$x^{16} - x = 0$

$x(x^{15} - 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 1$

$0 \leq x \leq 1$ では $g(x) \geq f(x)$ なので、

$\int_0^1 (\sqrt[4]{x} - x^4) dx = \int_0^1 (x^{1/4} - x^4) dx = \left[ \frac{4}{5}x^{5/4} - \frac{1}{5}x^5 \right]_0^1 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

(5) $f(x) = \arcsin x$ の $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ における接線を求める。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{2}$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$

接線の式は $y = f'(\frac{1}{\sqrt{2}})(x - \frac{1}{\sqrt{2}}) + f(\frac{1}{\sqrt{2}})$

$y = \sqrt{2}(x - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{\pi}{4} = \sqrt{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) (a) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(b) $\frac{xe^x}{(x+1)^2}$

(c) $\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}$

(2) (a) $\frac{3}{4}x^{4/3} + C$

(b) $\ln(1+x^4) + C$

(c) $\frac{e}{4}(e^4 - 1)$

(3) (a) $f'(x) = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}$, $f''(x) = 2 + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

(b) $x=1$で極小値$-3$

(4) $\frac{3}{5}$

(5) $y = \sqrt{2}x - 1 + \frac{\pi}{4}$