はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

**問6-9 微分しなさい。**

(1) $y = 2^x + 4 \cdot 5^x$

(2) $y = -2 \log_2 x$

(3) $y = 3 \sin x - 4 \cos x$

(4) $y = x \ln x - x$

(5) $y = \frac{e^x}{x^2}$

(6) $y = \sin x \cos x$

**問6-10 t について微分しなさい。**

(1) $y = 4.9t^2$

(2) $y = 2e^t$

(3) $y = -2 \sin t$

それでは、各問題の解き方と答えを以下に示します。

**問6-9**

(1) $y = 2^x + 4 \cdot 5^x$

解き方の手順：

$a^x$ の微分は $a^x \ln a$ であることを利用します。定数倍はそのまま残ります。

$y' = (2^x)' + 4 \cdot (5^x)' = 2^x \ln 2 + 4 \cdot 5^x \ln 5$

最終的な答え：

$y' = 2^x \ln 2 + 4 \cdot 5^x \ln 5$

(2) $y = -2 \log_2 x$

解き方の手順：

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ を利用して底の変換を行います。

$y = -2 \log_2 x = -2 \cdot \frac{\ln x}{\ln 2} = -\frac{2}{\ln 2} \ln x$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ を利用します。

$y' = -\frac{2}{\ln 2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x \ln 2}$

最終的な答え：

$y' = -\frac{2}{x \ln 2}$

(3) $y = 3 \sin x - 4 \cos x$

解き方の手順：

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

$y' = 3 (\sin x)' - 4 (\cos x)' = 3 \cos x - 4 (-\sin x) = 3 \cos x + 4 \sin x$

最終的な答え：

$y' = 3 \cos x + 4 \sin x$

(4) $y = x \ln x - x$

解き方の手順：

積の微分法：$(uv)' = u'v + uv'$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' - (x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$

最終的な答え：

$y' = \ln x$

(5) $y = \frac{e^x}{x^2}$

解き方の手順：

商の微分法：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$(e^x)' = e^x$

$(x^2)' = 2x$

$y' = \frac{(e^x)' x^2 - e^x (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{e^x x^2 - e^x (2x)}{x^4} = \frac{e^x x (x - 2)}{x^4} = \frac{e^x (x - 2)}{x^3}$

最終的な答え：

$y' = \frac{e^x (x - 2)}{x^3}$

(6) $y = \sin x \cos x$

解き方の手順：

積の微分法：$(uv)' = u'v + uv'$

$(\sin x)' = \cos x$

$(\cos x)' = -\sin x$

$y' = (\sin x)' \cos x + \sin x (\cos x)' = \cos x \cos x + \sin x (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

最終的な答え：

$y' = \cos 2x$

**問6-10**

(1) $y = 4.9t^2$

解き方の手順：

$t^n$ の微分は $nt^{n-1}$ であることを利用します。

$y' = 4.9 (t^2)' = 4.9 \cdot 2t = 9.8t$

最終的な答え：

$y' = 9.8t$

(2) $y = 2e^t$

解き方の手順：

$(e^t)' = e^t$

$y' = 2 (e^t)' = 2e^t$

最終的な答え：

$y' = 2e^t$

(3) $y = -2 \sin t$

解き方の手順：

$(\sin t)' = \cos t$

$y' = -2 (\sin t)' = -2 \cos t$

最終的な答え：

$y' = -2 \cos t$