関数 $y = 2x^3 - 6x^2 + 1$ の増減を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^3 - 6x^2 + 1$ の増減を調べる問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y = 2x^3 - 6x^2 + 1$

$y' = 6x^2 - 12x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値を与える点の候補となります。

$6x^2 - 12x = 0$

$6x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

(3) $x$ の値によって $y'$ の符号がどのように変化するかを調べます。

$x < 0$ のとき、$x < 0$、$x - 2 < 0$ なので、$y' = 6x(x - 2) > 0$ となります。

$0 < x < 2$ のとき、$x > 0$、$x - 2 < 0$ なので、$y' = 6x(x - 2) < 0$ となります。

$x > 2$ のとき、$x > 0$、$x - 2 > 0$ なので、$y' = 6x(x - 2) > 0$ となります。

(4) 増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

(5) 極値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 1 = 1$ (極大値)

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$ (極小値)

3. 最終的な答え

関数 $y = 2x^3 - 6x^2 + 1$ は、

$x < 0$ で増加、

$0 < x < 2$ で減少、

$x > 2$ で増加します。

$x = 0$ で極大値 $1$ をとり、

$x = 2$ で極小値 $-7$ をとります。