次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \sqrt{x^3}$ (2) $y = \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}}$ (3) $y = 4\sqrt[3]{x^4} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \sqrt{x^3}$

(2) $y = \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}}$

(3) $y = 4\sqrt[3]{x^4} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x^3}$

まず、ルートを指数の形に書き換えます。

$y = x^{\frac{3}{2}}$

次に、べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を使って微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

(2) $y = \frac{4}{\sqrt[3]{x^2}}$

まず、分母のルートを指数の形に書き換えます。

$y = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

次に、分母の指数関数を分子に移動させます。

$y = 4x^{-\frac{2}{3}}$

べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ を使って微分します。

$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot (-\frac{2}{3})x^{-\frac{2}{3} - 1} = -\frac{8}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{8}{3x^{\frac{5}{3}}} = -\frac{8}{3\sqrt[3]{x^5}}$

(3) $y = 4\sqrt[3]{x^4} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

まず、ルートを指数の形に書き換えます。

$y = 4x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

次に、分母の指数関数を分子に移動させます。

$y = 4x^{\frac{4}{3}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}4x^{\frac{4}{3}} = 4 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3} - 1} = \frac{16}{3}x^{\frac{1}{3}}$

$\frac{d}{dx}2x^{-\frac{1}{2}} = 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2} - 1} = -x^{-\frac{3}{2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{16}{3}x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{16}{3}\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x^3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{8}{3\sqrt[3]{x^5}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{16}{3}\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x^3}}$