関数 $f(x) = e^{2x} \sin x$ のマクローリン展開を $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ とするとき、$a_3$ と $a_4$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{2x} \sin x$ のマクローリン展開を $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ とするとき、$a_3$ と $a_4$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開はテイラー展開の中心を0としたものであり、

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

で求められます。したがって、$f(x)$の3階微分と4階微分を計算し、$x=0$での値を求めれば、$a_3$と$a_4$が計算できます。

まず、$e^{2x}$と$\sin x$のマクローリン展開をそれぞれ求めます。

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \cdots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{1}{6}x^3 + \cdots$

$f(x) = e^{2x} \sin x$ のマクローリン展開を求めるために、$e^{2x}$と$\sin x$の積を計算し、$x^3$と$x^4$の項まで求めます。

$f(x) = (1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^4 + \cdots)(x - \frac{1}{6}x^3 + \cdots)$

$= x + 2x^2 + 2x^3 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{4}{3}x^3 + \cdots + x^4(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + \cdots$

$= x + 2x^2 + (2 - \frac{1}{6} + \frac{4}{3})x^3 + (\frac{2}{3} - \frac{2}{6}) x^4 + \cdots$

$= x + 2x^2 + \frac{12-1+8}{6}x^3 + \cdots + x^4(\frac{4}{6} - \frac{2}{6}) + \cdots$

$= x + 2x^2 + \frac{19}{6}x^3 + \frac{1}{3} x^4 + \cdots$

したがって、

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \cdots$

より、

$a_3 = \frac{19}{6}$

$a_4 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a_3 = \frac{19}{6}$

$a_4 = \frac{1}{3}$