関数 $f(x) = \log(1 + x^2)$ の $x = 1$ 周りの $n = 4$ の場合のテイラー展開を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1 + x^2)$ の $x = 1$ 周りの $n = 4$ の場合のテイラー展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

テイラー展開の公式は以下の通りです。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f''''(a)}{4!}(x-a)^4 + \dots$

この問題では、$a = 1$ であり、$n = 4$ までの展開を求めます。まず、$f(x)$ の微分を4回まで計算します。

$f(x) = \log(1 + x^2)$

$f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$

$f''(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2}$

$f'''(x) = \frac{-4x(1 + x^2)^2 - (2 - 2x^2)2(1 + x^2)(2x)}{(1 + x^2)^4} = \frac{-4x(1 + x^2) - 4x(2 - 2x^2)}{(1 + x^2)^3} = \frac{-4x - 4x^3 - 8x + 8x^3}{(1 + x^2)^3} = \frac{4x^3 - 12x}{(1 + x^2)^3}$

$f''''(x) = \frac{(12x^2 - 12)(1 + x^2)^3 - (4x^3 - 12x)3(1 + x^2)^2(2x)}{(1 + x^2)^6} = \frac{(12x^2 - 12)(1 + x^2) - (4x^3 - 12x)6x}{(1 + x^2)^4} = \frac{12x^2 - 12 + 12x^4 - 12x^2 - 24x^4 + 72x^2}{(1 + x^2)^4} = \frac{-12x^4 + 72x^2 - 12}{(1 + x^2)^4}$

次に、$x = 1$ での各関数の値を計算します。

$f(1) = \log(1 + 1^2) = \log(2)$

$f'(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = 1$

$f''(1) = \frac{2 - 2(1)^2}{(1 + 1^2)^2} = 0$

$f'''(1) = \frac{4(1)^3 - 12(1)}{(1 + 1^2)^3} = \frac{-8}{8} = -1$

$f''''(1) = \frac{-12(1)^4 + 72(1)^2 - 12}{(1 + 1^2)^4} = \frac{48}{16} = 3$

これらの値をテイラー展開の公式に代入します。

$f(x) = \log(2) + (x - 1) + 0(x - 1)^2 + \frac{-1}{3!}(x - 1)^3 + \frac{3}{4!}(x - 1)^4$

$f(x) = \log(2) + (x - 1) - \frac{1}{6}(x - 1)^3 + \frac{1}{8}(x - 1)^4$

3. 最終的な答え

$\log(2) + (x - 1) - \frac{1}{6}(x - 1)^3 + \frac{1}{8}(x - 1)^4$