与えられた問題は、以下の3つのタイプに分かれています。 (1) 関数を3次までマクローリン展開 (テイラー展開) すること。 (2) マクローリン展開において、ゼロでない最初の3つの項を求めること。 (3) マクローリン展開における、特定の次数の項の係数を求めること。 具体的には、以下の問題を解きます。 (13) $x \sin(3x)$ の3次近似式を求める。 (14) $-\log(1-x)$ の3次近似式を求める。 (15) $(x+1)\log(x+1)$ のマクローリン展開のゼロでない最初の3項を求める。 (16) $\sin(x^3)$ のマクローリン展開のゼロでない最初の3項を求める。 (17) $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における $x^5$ の係数を求める。 (18) $\frac{x}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開における $x^{100}$ の係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つのタイプに分かれています。

(1) 関数を3次までマクローリン展開 (テイラー展開) すること。

(2) マクローリン展開において、ゼロでない最初の3つの項を求めること。

(3) マクローリン展開における、特定の次数の項の係数を求めること。

具体的には、以下の問題を解きます。

(13) $x \sin(3x)$ の3次近似式を求める。

(14) $-\log(1-x)$ の3次近似式を求める。

(15) $(x+1)\log(x+1)$ のマクローリン展開のゼロでない最初の3項を求める。

(16) $\sin(x^3)$ のマクローリン展開のゼロでない最初の3項を求める。

(17) $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における $x^5$ の係数を求める。

(18) $\frac{x}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開における $x^{100}$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(13) $x \sin(3x)$ の3次近似式

$\sin(x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

したがって、

$\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + O(x^5) = 3x - \frac{27x^3}{6} + O(x^5) = 3x - \frac{9}{2}x^3 + O(x^5)$

よって、

$x \sin(3x) = x(3x - \frac{9}{2}x^3 + O(x^5)) = 3x^2 - \frac{9}{2}x^4 + O(x^6)$

3次近似式を求めるので、$x^3$ までの項を取ると、$3x^2$となります。

(14) $-\log(1-x)$ の3次近似式

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

したがって、

$-\log(1-x) = -((-x) - \frac{(-x)^2}{2} + \frac{(-x)^3}{3} + O(x^4)) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

3次近似式は $x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ となります。

(15) $(x+1)\log(x+1)$ のマクローリン展開のゼロでない最初の3項

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$(x+1)\log(x+1) = (x+1)(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \dots = x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots$

ゼロでない最初の3項は $x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$ です。

(16) $\sin(x^3)$ のマクローリン展開のゼロでない最初の3項

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin(x^3) = x^3 - \frac{(x^3)^3}{3!} + \frac{(x^3)^5}{5!} - \dots = x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120} - \dots$

ゼロでない最初の3項は $x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120}$ です。問題文の指示より最初の3項を求めるとなっているが、$x^9$以降の項は無視して$x^3$が答えと解釈することもできる。

(17) $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における $x^5$ の係数

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$

$(x^2+2)e^x = (x^2+2)(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots) = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{6} + \dots + 2 + 2x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{60} + \dots = 2 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{7}{12}x^4 + (\frac{1}{6} + \frac{1}{60})x^5 + \dots = 2 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{7}{12}x^4 + \frac{11}{60}x^5 + \dots$

$x^5$ の係数は $\frac{11}{60}$ です。

(18) $\frac{x}{(1-x)^2}$ のマクローリン展開における $x^{100}$ の係数

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

$\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x}) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}$

$\frac{x}{(1-x)^2} = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} nx^n$

$x^{100}$ の係数は $100$ です。

3. 最終的な答え

(13) $3x^2$

(14) $x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$

(15) $x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$

(16) $x^3 - \frac{x^9}{6} + \frac{x^{15}}{120}$ または $x^3$

(17) $\frac{11}{60}$

(18) $100$