問題は、$(\cos x)e^x$ を $x$ の多項式で近似することです。具体的には、$(\cos x)e^x = (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2))(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2))$ を計算し、$x$ について 2 次の項までを求め、それを $1+x+o(x^2)$ と示すことです。ここで、$o(x^2)$ は $x^2$ よりも早く 0 に近づく項を表します。

1. 問題の内容

問題は、$(\cos x)e^x$ を $x$ の多項式で近似することです。具体的には、$(\cos x)e^x = (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2))(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2))$ を計算し、$x$ について 2 次の項までを求め、それを $1+x+o(x^2)$ と示すことです。ここで、$o(x^2)$ は $x^2$ よりも早く 0 に近づく項を表します。

2. 解き方の手順

$(\cos x)e^x$ を $x$ の多項式で近似するために、与えられた式を展開します。

$(\cos x)e^x = (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2))(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2))$

$= 1(1 + x + \frac{x^2}{2}) - \frac{x^2}{2}(1) + o(x^2)$

$= 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

$= 1 + x + o(x^2)$

3. 最終的な答え

$1 + x + o(x^2)$