関数 $f(x) = \sin x$ の $x = \frac{\pi}{3}$ における2次の有限テイラー展開を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x$ の $x = \frac{\pi}{3}$ における2次の有限テイラー展開を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x = a$ における2次のテイラー展開は次のように表される。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$

この問題では、$f(x) = \sin x$ であり、$a = \frac{\pi}{3}$ である。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

次に、$f(a)$, $f'(a)$, $f''(a)$ を計算する。

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f'(\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$f''(\frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

これらの値をテイラー展開の式に代入する。

$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}) + \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}(x-\frac{\pi}{3})^2$

$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}(x-\frac{\pi}{3})^2$

3. 最終的な答え

$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}(x-\frac{\pi}{3})^2$