与えられた2つの極限を、ロピタルの定理を用いて求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x^2}}{1 - \cos 3x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+2)}{\log(x^3(x+1))}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を、ロピタルの定理を用いて求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x^2}}{1 - \cos 3x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+2)}{\log(x^3(x+1))}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x^2}}{1 - \cos 3x}$ について

$x \to 0$のとき、分子は$1-e^0 = 1-1 = 0$、分母は$1-\cos 0 = 1-1 = 0$となり、$\frac{0}{0}$の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx}(1 - e^{-x^2}) = -e^{-x^2} \cdot (-2x) = 2xe^{-x^2}$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx}(1 - \cos 3x) = 3\sin 3x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2xe^{-x^2}}{3\sin 3x}$

これも$x \to 0$で$\frac{0}{0}$の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx}(2xe^{-x^2}) = 2e^{-x^2} + 2x(-2x)e^{-x^2} = 2e^{-x^2} - 4x^2e^{-x^2} = (2 - 4x^2)e^{-x^2}$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx}(3\sin 3x) = 9\cos 3x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(2 - 4x^2)e^{-x^2}}{9\cos 3x} = \frac{(2 - 0)e^0}{9\cos 0} = \frac{2 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{2}{9}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+2)}{\log(x^3(x+1))}$ について

$x \to \infty$のとき、分子は$\infty$、分母も$\infty$となり、$\frac{\infty}{\infty}$の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

まず分母を整理します。

$\log(x^3(x+1)) = \log(x^4 + x^3)$

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx}(\log(x+2)) = \frac{1}{x+2}$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx}(\log(x^4 + x^3)) = \frac{4x^3 + 3x^2}{x^4 + x^3} = \frac{x^2(4x + 3)}{x^3(x+1)} = \frac{4x+3}{x(x+1)}$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x+2}}{\frac{4x+3}{x(x+1)}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(x+1)}{(x+2)(4x+3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{4x^2 + 11x + 6}$

これは$\frac{\infty}{\infty}$の不定形です。分子と分母を$x^2$で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{4 + \frac{11}{x} + \frac{6}{x^2}} = \frac{1 + 0}{4 + 0 + 0} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) $\frac{1}{4}$