与えられた7つの関数 $y$ について、それぞれの導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。与えられた7つの関数の導関数を求める問題ですね。以下に、それぞれの問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた7つの関数 $y$ について、それぞれの導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log\left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)$

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$y = \log(1+\cos x) - \log(\sin x)$

次に、それぞれの項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log(1+\cos x) = \frac{-\sin x}{1+\cos x}$

$\frac{d}{dx} \log(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x}{1+\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-\sin^2 x - \cos x - \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{-1-\cos x}{\sin x(1+\cos x)} = -\frac{1}{\sin x} = -\csc x$

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

arcsin の微分公式 $\frac{d}{dx} \sin^{-1} u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ を利用します。

$u = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} \cdot \frac{(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1+x}{1-x}}} \cdot \frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{-2x}{1-x}}} \cdot \frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{-2x}} \cdot \frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{-2x}(1-x)\sqrt{1+x}}$

場合分けが必要になるので、一旦ここまでとします。

(3) $y = \tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{x}}$

arctanの微分公式 $\frac{d}{dx} \tan^{-1} u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$ を利用します。

$u = \frac{1}{\sqrt{x}}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{2x\sqrt{x}}) = \frac{x}{x+1} \cdot (-\frac{1}{2x\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2(x+1)\sqrt{x}}$

(4) $y = e^{2x+3}\cos x$

積の微分公式を利用します。

$\frac{d}{dx} e^{2x+3} = 2e^{2x+3}$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x+3}\cos x - e^{2x+3}\sin x = e^{2x+3}(2\cos x - \sin x)$

(5) $y = (\sin x)^{\tan x}$

両辺の対数をとります。

$\log y = \tan x \log(\sin x)$

両辺を微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \log(\sin x) + \tan x \frac{\cos x}{\sin x} = \sec^2 x \log(\sin x) + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\sec^2 x \log(\sin x) + 1) = (\sin x)^{\tan x} (\sec^2 x \log(\sin x) + 1)$

(6) $y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$

合成関数の微分を利用します。

$F(x) = \int_0^x \frac{1}{t^4+1} dt$ とおくと、$y = F(x^2)$

$\frac{dy}{dx} = F'(x^2) \cdot 2x = \frac{1}{(x^2)^4+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^8+1}$

(7) $y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

合成関数の微分を利用します。

$G(x) = \int_0^x \frac{1}{t^3+1} dt$ とおくと、$y = G(\sqrt{x})$

$\frac{dy}{dx} = G'(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(\sqrt{x})^3+1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(x\sqrt{x}+1)2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x\sqrt{x}+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\csc x$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{-2x}(1-x)\sqrt{1+x}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2(x+1)\sqrt{x}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{2x+3}(2\cos x - \sin x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\tan x} (\sec^2 x \log(\sin x) + 1)$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^8+1}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}(x\sqrt{x}+1)}$