与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $f(x) = (10x-5)^6$ (2) $f(x) = (4x^2+x+15)^3$ (3) $f(x) = e^{x^2+1}$ (4) $f(x) = xe^{x^3}$ (5) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ($x>0$) (6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $f(x) = (10x-5)^6$

(2) $f(x) = (4x^2+x+15)^3$

(3) $f(x) = e^{x^2+1}$

(4) $f(x) = xe^{x^3}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ($x>0$)

(6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を使います。$u = 10x-5$とすると、$f(x) = u^6$です。

$\frac{du}{dx} = 10$

$\frac{df}{du} = 6u^5$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot 10 = 60(10x-5)^5$

(2) 合成関数の微分法を使います。$u = 4x^2+x+15$とすると、$f(x) = u^3$です。

$\frac{du}{dx} = 8x+1$

$\frac{df}{du} = 3u^2$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (8x+1) = 3(4x^2+x+15)^2 (8x+1)$

(3) 合成関数の微分法を使います。$u = x^2+1$とすると、$f(x) = e^u$です。

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{df}{du} = e^u$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2+1}$

(4) 積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$f(x) = xe^{x^3}$

$u=x$, $v=e^{x^3}$とすると、$f'(x) = u'v + uv'$です。

$u' = 1$

$v'=3x^2e^{x^3}$

$f'(x) = 1 \cdot e^{x^3} + x \cdot 3x^2e^{x^3} = e^{x^3} + 3x^3e^{x^3} = (1+3x^3)e^{x^3}$

(5) $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ と書き換えることができます。

$f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(6) 積の微分法を使います。$f(x) = e^x 6^{x-5}$

$f'(x) = (e^x)' 6^{x-5} + e^x (6^{x-5})'$

$(e^x)'=e^x$

$y = 6^{x-5}$とおくと、$y' = (\ln 6) 6^{x-5}$

したがって、$f'(x) = e^x 6^{x-5} + e^x (\ln 6) 6^{x-5} = e^x 6^{x-5}(1+\ln 6)$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 60(10x-5)^5$

(2) $f'(x) = 3(4x^2+x+15)^2 (8x+1)$

(3) $f'(x) = 2xe^{x^2+1}$

(4) $f'(x) = (1+3x^3)e^{x^3}$

(5) $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(6) $f'(x) = e^x 6^{x-5}(1+\ln 6)$