関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 3x^2 + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y$ を $x$ で微分します。

まず、関数を $y = (x^3 + 3x^2 + 1)^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分（チェーンルール）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^3 + 3x^2 + 1)^{-1}$

チェーンルールより、

$\frac{dy}{dx} = -1(x^3 + 3x^2 + 1)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 1)$

次に、$x^3 + 3x^2 + 1$ を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 1) = 3x^2 + 6x$

これを代入すると、

$\frac{dy}{dx} = -1(x^3 + 3x^2 + 1)^{-2} \cdot (3x^2 + 6x)$

整理すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 6x}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x(x + 2)}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x(x + 2)}{(x^3 + 3x^2 + 1)^2}$