関数 $y = x \cos 2x$ を $x$ について微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = x \cos 2x$ を $x$ について微分しなさい。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則を使います。

積の微分法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられることを示しています。

合成関数の微分法則(連鎖律)は、ある関数 $f(g(x))$ の微分が $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で与えられることを示しています。

まず、$y = x \cos 2x$ を $u(x) = x$ と $v(x) = \cos 2x$ の積とみなします。

$u(x) = x$ の微分は $u'(x) = 1$ です。

$v(x) = \cos 2x$ の微分は、連鎖律を使って求めます。

$\cos u$ の微分は $-\sin u$ であり、$u = 2x$ の微分は $2$ なので、

$v'(x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2 \sin 2x$ です。

したがって、積の微分法則を使うと、

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y' = (x \cos 2x)' = (x)' \cos 2x + x (\cos 2x)' = 1 \cdot \cos 2x + x \cdot (-2 \sin 2x)

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y' = \cos 2x - 2x \sin 2x

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3. 最終的な答え

$\cos 2x - 2x \sin 2x$