曲面 $z = \sin(\pi x) \cos(\pi y)$ 上の点 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$ における接平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲面 $z = \sin(\pi x) \cos(\pi y)$ 上の点 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4})$ における接平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲面 $z = f(x, y)$ の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式は、

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

で与えられます。ここで $f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $f(x, y)$ の $x$ と $y$ に関する偏微分です。

まず、与えられた関数 $f(x, y) = \sin(\pi x) \cos(\pi y)$ を偏微分します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\sin(\pi x) \cos(\pi y)) = \pi \cos(\pi x) \cos(\pi y)$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\sin(\pi x) \cos(\pi y)) = -\pi \sin(\pi x) \sin(\pi y)$

次に、点 $(x_0, y_0) = (\frac{1}{6}, \frac{1}{3})$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}) = \pi \cos(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{3}) = \pi (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{1}{2}) = \frac{\pi \sqrt{3}}{4}$

$f_y(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}) = -\pi \sin(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\pi}{3}) = -\pi (\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi \sqrt{3}}{4}$

最後に、接平面の方程式にこれらの値を代入します。

$z - \frac{1}{4} = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} (x - \frac{1}{6}) - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} (y - \frac{1}{3})$

$z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{1}{4} - \frac{\pi \sqrt{3}}{24} + \frac{\pi \sqrt{3}}{12}$

$z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{1}{4} + \frac{\pi \sqrt{3}}{24}$

$z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{6 + \pi \sqrt{3}}{24}$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{6 + \pi \sqrt{3}}{24}$ です。