関数 $y = (3x^2 - x + 2)^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (3x^2 - x + 2)^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数の形をしているので、連鎖律（チェインルール）を使って微分します。連鎖律は、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

この問題では、

$f(u) = u^3$

$g(x) = 3x^2 - x + 2$

とします。

まず、$f(u) = u^3$ を $u$ で微分すると、

$\frac{df}{du} = 3u^2$

となります。

次に、$g(x) = 3x^2 - x + 2$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dg}{dx} = 6x - 1$

となります。

したがって、連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = 3u^2 \cdot (6x - 1)$

ここで、$u = 3x^2 - x + 2$ なので、これを代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 3(3x^2 - x + 2)^2 (6x - 1)$

$= (18x - 3)(3x^2 - x + 2)^2$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3(3x^2 - x + 2)^2(6x - 1) = (18x - 3)(3x^2 - x + 2)^2$