関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u}{v}$ を微分するとき、以下のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$

この問題では、$u = x$ および $v = \tan x$ です。

$u$ を $x$ で微分すると、$\frac{du}{dx} = 1$ です。

$v = \tan x$ を $x$ で微分すると、$\frac{dv}{dx} = \sec^2 x$ です。

商の微分公式にこれらの値を代入すると、次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x \cdot 1 - x \cdot \sec^2 x}{(\tan x)^2}$

これを簡略化します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x - x \sec^2 x}{\tan^2 x}$

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ であることを利用して変形します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x - x(1 + \tan^2 x)}{\tan^2 x} = \frac{\tan x - x - x \tan^2 x}{\tan^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x}{\tan^2 x} - \frac{x}{\tan^2 x} - \frac{x \tan^2 x}{\tan^2 x} = \frac{1}{\tan x} - \frac{x}{\tan^2 x} - x$

$\frac{dy}{dx} = \cot x - x \cot^2 x - x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x - x \sec^2 x}{\tan^2 x} = \cot x - x \cot^2 x - x$