関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = \frac{x}{\tan x}$ を微分するために、商の微分公式を用います。商の微分公式は、$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

ここで、$u = x$、 $v = \tan x$ とすると、

$u' = 1$、 $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$ となります。

したがって、

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y' = \frac{1 \cdot \tan x - x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\tan^2 x}

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y' = \frac{\tan x - \frac{x}{\cos^2 x}}{\tan^2 x}

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y' = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}

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y' = \frac{\frac{\sin x \cos x - x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}

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y' = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}

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よって、$y' = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

5. $y' = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}$