関数 $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ を使います。

ここで、$u = \sin x$ 、$v = \sin x + \cos x$ と置きます。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$\frac{du}{dx} = \cos x$

$\frac{dv}{dx} = \cos x - \sin x$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\sin x + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$