与えられた3つの2変数関数 $f(x, y)$ を、それぞれ $x$ と $y$ で偏微分する問題です。 (i) $f(x, y) = \log(\cos(xy))$ (ii) $f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{x}{y})$ (iii) $f(x, y) = x^y$

1. 問題の内容

与えられた3つの2変数関数 $f(x, y)$ を、それぞれ $x$ と $y$ で偏微分する問題です。

(i) $f(x, y) = \log(\cos(xy))$

(ii) $f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{x}{y})$

(iii) $f(x, y) = x^y$

2. 解き方の手順

(i) $f(x, y) = \log(\cos(xy))$

* $x$ で偏微分:

まず、合成関数の微分を行います。外側の関数は $\log(u)$ であり、内側の関数は $u = \cos(xy)$ です。更に内側の関数は $xy$です。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\cos(xy)} \cdot (-\sin(xy)) \cdot y = -y\frac{\sin(xy)}{\cos(xy)} = -y\tan(xy)$

* $y$ で偏微分:

同様に、合成関数の微分を行います。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\cos(xy)} \cdot (-\sin(xy)) \cdot x = -x\frac{\sin(xy)}{\cos(xy)} = -x\tan(xy)$

(ii) $f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{x}{y})$

* $x$ で偏微分:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^2}{y^2 + x^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

* $y$ で偏微分:

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{y^2}{y^2 + x^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{x^2 + y^2}$

(iii) $f(x, y) = x^y$

* $x$ で偏微分:

$x^y$ を $x$ で微分する場合、$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

* $y$ で偏微分:

$x^y$ を $y$ で微分する場合、$x$ は定数として扱います。このとき、$x^y = e^{y\log x}$ と変形して微分します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{y\log x} \cdot \log x = x^y \log x$

3. 最終的な答え

(i)

$\frac{\partial f}{\partial x} = -y\tan(xy)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -x\tan(xy)$

(ii)

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{x}{x^2 + y^2}$

(iii)

$\frac{\partial f}{\partial x} = yx^{y-1}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^y \log x$