与えられた問題は、広義積分 $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-6x} dx$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-6x} dx$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いて積分を計算します。

まず、$u = x^2$、$dv = e^{-6x} dx$ とおきます。

すると、$du = 2x dx$、$v = -\frac{1}{6} e^{-6x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-6x} dx = \left[-\frac{1}{6} x^2 e^{-6x}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{6}\right) (2x) e^{-6x} dx$$

$$= \left[-\frac{1}{6} x^2 e^{-6x}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} x e^{-6x} dx$$

ここで、$\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-6x} = 0$ であるため、第一項は 0 となります。

よって、

$$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-6x} dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} x e^{-6x} dx$$

次に、再度部分積分を行います。

$u = x$、$dv = e^{-6x} dx$ とおくと、$du = dx$、$v = -\frac{1}{6} e^{-6x}$ となります。

$$\int_{0}^{\infty} x e^{-6x} dx = \left[-\frac{1}{6} x e^{-6x}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{6}\right) e^{-6x} dx$$

$$= \left[-\frac{1}{6} x e^{-6x}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{6} \int_{0}^{\infty} e^{-6x} dx$$

$\lim_{x \to \infty} x e^{-6x} = 0$ であるため、第一項は 0 となります。

よって、

$$\int_{0}^{\infty} x e^{-6x} dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{\infty} e^{-6x} dx = \frac{1}{6} \left[-\frac{1}{6} e^{-6x}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{6} \left(0 - \left(-\frac{1}{6}\right)\right) = \frac{1}{36}$$

したがって、

$$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-6x} dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{\infty} x e^{-6x} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{108}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{108}$