関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \sin x}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$を $x$ について微分することを考えます。

$y = \sqrt{1 + \sin x}$ は合成関数なので、合成関数の微分法（チェーンルール）を使います。

チェーンルールは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

この問題では、

$y = \sqrt{u}$

$u = 1 + \sin x$

と考えると、$y = \sqrt{1 + \sin x}$ と表すことができます。

まず、$y = \sqrt{u}$ を $u$ について微分します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \sqrt{u} = \frac{d}{du} u^{1/2} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

次に、$u = 1 + \sin x$ を $x$ について微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1 + \sin x) = \frac{d}{dx} (1) + \frac{d}{dx} (\sin x) = 0 + \cos x = \cos x$

チェーンルールを使って、$y$ を $x$ について微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \cos x$

最後に、$u = 1 + \sin x$ を代入して、答えを $x$ の関数として表します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$