$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \cos^3 2x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いて解きます。

$y = (\cos 2x)^3$ と考えると、

まず、外側の関数 $u^3$ を $u$ で微分し、次に $u = \cos 2x$ を $x$ で微分します。

最後に、$2x$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

ここで、

$y = u^3$

$u = \cos v$

$v = 2x$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = -\sin v$

$\frac{dv}{dx} = 2$

これらを代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-\sin v) \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = 3(\cos 2x)^2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2$

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -6 \cos^2 2x \sin 2x$