与えられた問題は、広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+2)} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+2)} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$ とおくと、

$1 = A(x+2) + Bx$

$1 = (A+B)x + 2A$

したがって、$A+B = 0$ かつ $2A = 1$ となります。

これより、$A = \frac{1}{2}$ かつ $B = -\frac{1}{2}$ となるので、

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right)$

となります。

次に、不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{x(x+2)} dx = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) dx = \frac{1}{2} (\ln|x| - \ln|x+2|) + C = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x}{x+2}\right| + C$

最後に、広義積分を計算します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+2)} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x(x+2)} dx = \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{1}{2} \ln \left(\frac{x}{x+2}\right) \right]_{1}^{t} = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{2} \ln \left(\frac{t}{t+2}\right) - \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1}{1+2}\right) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \lim_{t \to \infty} \ln \left(\frac{t}{t+2}\right) - \ln \left(\frac{1}{3}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln \left(\lim_{t \to \infty} \frac{t}{t+2}\right) - \ln \left(\frac{1}{3}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln(1) - \ln\left(\frac{1}{3}\right) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 0 - (-\ln 3) \right) = \frac{1}{2} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 3$