以下の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{(x^2 - 3x + 2)^5}$ (2) $y = \sqrt{3x^2 + 4x}$ (3) $y = \frac{1}{3\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^3}}$

はい、承知いたしました。与えられた3つの関数を微分します。

1. 問題の内容

以下の3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{(x^2 - 3x + 2)^5}$

(2) $y = \sqrt{3x^2 + 4x}$

(3) $y = \frac{1}{3\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^3}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{(x^2 - 3x + 2)^5}$

この関数は、合成関数の微分として解きます。

$u = x^2 - 3x + 2$ と置くと、$y = \frac{1}{u^5} = u^{-5}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -5u^{-6} = \frac{-5}{u^6}$

$\frac{du}{dx} = 2x - 3$

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-5}{(x^2 - 3x + 2)^6} \cdot (2x - 3)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-5(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^6}$

(2) $y = \sqrt{3x^2 + 4x}$

この関数も合成関数の微分として解きます。

$u = 3x^2 + 4x$ と置くと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = 6x + 4$

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x^2 + 4x}} \cdot (6x + 4)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 4}{2\sqrt{3x^2 + 4x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x + 2}{\sqrt{3x^2 + 4x}}$

(3) $y = \frac{1}{3\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^3}}$

この関数も合成関数の微分として解きます。

$u = x^2 - 3x + 5$ と置くと、$y = \frac{1}{3\sqrt{u^3}} = \frac{1}{3}u^{-\frac{3}{2}}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{2})u^{-\frac{5}{2}} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{5}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{u^5}}$

$\frac{du}{dx} = 2x - 3$

連鎖律より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^5}} \cdot (2x - 3)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(2x - 3)}{2\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^5}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3-2x}{2\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^5}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-5(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^6}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x + 2}{\sqrt{3x^2 + 4x}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3-2x}{2\sqrt{(x^2 - 3x + 5)^5}}$